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一、基本概念

• 主要有散列函数和散列表的定义，以及散列函数的关键字冲突现象。

1、散列函数：

• 将查找表中关键字映射称关键字对应的地址的函数，记为Hash(key)=Addr。

2、冲突与同义词

• 冲突：指散列函数将不同关键字映射到同一块地址上。
• 同义词：指导致散列函数发生冲突的不同关键字。

3、散列表

• 散列表，指根据关键字而直接进行访问的数据结构，即散列表建立了关键字和存储地址之间的直接映射关系。
• 理想的散列表的时间复杂度为常数阶，与散列表中的元素个数无关。

二、构造散列函数

• 构造散列函数的方法有：直接定址法、除留余数法、数字分析法和平方取中法。
• 无论是哪种方法都必须达到：
  ① 散列函数定义域必须满足涵盖所有待存储的关键字，值域大小与散列表大小即地址范围相关；
  ② 散列函数计算出来的值，即地址应遵从等概率、均匀分布在整个地址空间中，以减少冲突;
  ③ 散列函数应尽可能简单，应具有高效性，快速计算出任一关键字对应的地址。

1、直接定址法

• 直接取关键字的某个线性函数值为散列地址，此时散列函数为：
  H(key) = key 或 H(key) = a*key + b
• 适于关键字分布基本连续的情况，不适于关键字分布不连续的情况——空位较多，浪费存储空间。

2、除留余数法

• 最简单、常用的方法
• 若散列表长 m，取不超过 m 的最大质数 p，按照：
  H(key) = key%p
• 将关键字转换成散列地址。此时，p 的选取将制约着算法的效率。

3、数字分析法

• 若关键字为 r 进制数，r 个数码在每位上出现的概率不一样，此时选择数码分布较均匀的若干位作为散列地址。
• 此法适用于已知的关键字集合，若更好关键字，则需要重构散列函数。

4、平方取中法

• 取关键字平方的中间几位作为散列地址，取多少位视具体情况而定。此法得到的散列地址与关键字的每位都有关系，故散列地址分布较均匀，适用于关键字每位取值都不够均匀或均小于散列地址所需的位数。

三、处理冲突的操作

• 所有处理散列函数产生的冲突的关键字的操作，基本都是遵循：为该关键字寻找下一个可使用的空的散列地址。

1、开放定址法

• 指可存放新表项的空闲地址既向他同义词表项开放，又向它的非同义词表项开放，递推公式：
  H_i = (H(key) + d_i)%m
• d_i 表示增量序列，具体增量序列便有具体的对应方法：线性探测法、平方探测法、再散列法或伪随机序列法。

1.1、线性探测法

• d_i 为从零开始的、公差为一的等差递增序列时，当发生冲突，则顺序查看表中下一单元，直到找到可用的空闲单元或查遍全表；因此当探查到表尾地址时，并不是结束循环而是回到表首。
• 此法的缺点在于容易产生大量元素在相邻的散列地址上堆积起来，从而降低查找效率。

1.2、平方探测法

• 也叫二次探测法。
• 当 d_i=0², 1², -1², 2², -2², … , k², -k² （k<=m/2）时。
• 此时，散列表长度必须是一个可以表示成4k+3的素数。
• 该法优点在于能够较好地处理冲突，且不发生元素的在某一段散列地址上的堆积；但不能探测到散列表上所有单元，至少能探测到一半单元，是其不足之处。

1.3、再散列法

• 又叫双散列法。
• 当 d_i = Hash₂(key) 时。
• 使用两个散列函数，当第一个散列函数发生冲突时，用第二个散列函数计算该关键字的地址增量，表达式如下：
  H_i = (H(key) + i*Hash₂(key))%m
• 初始探测位置为 H₀ = H(key)%m。i 表示冲突次数，初始为 0.
• 此法经过 m-1 次探测就会遍历表中所有位置，回到初始位置。

1.4、伪随机序列法

• 当 d_i 是一个伪随机序列时。

1.5、注意事项

• 使用开放定址法，不能随便删除存储单元中的内容即已有元素，否则会造成其他具有相同散列地址的元素的查找地址。此时，若要删除元素，则需要附设一个删除标记，进行逻辑删除，但多次删除后散列表似乎看起来很满，实际上却又许多位置并未利用，故而需要定期维护散列表，把附设有删除标记的元素进行物理删除。

2、拉链法

• 此法的思想是，将发生冲突的同义词存储在同一个线性链表中，该线性链表由散列地址唯一标识。
• 此法适用于经常进行插入和删除操作的情况。

四、散列查找

• 散列表的查找过程与构造过程类似，根据给定的关键字用对应的散列函数计算出相应的散列地址，其过程步骤一般如下：
  初始化：Addr=Hash(key);
  ① 检测表中地址为 Addr 的位置上是否有记录，若无则返回查找失败；若有则将元素值与key进行比较，若相等则返回查找成功，否则转到步骤②；
  ② 用给定的处理冲突的方法计算下一个散列地址，并把 Addr 置为此地址，转入①。

五、影响散列表效率的因素

• 影响散列表查找效率的因素有散列函数、处理冲突的方法和装填因子。
• 装填因子 α：定义为
  α=（表中记录数n）/（散列表长度m）
• 散列表的平均查找长度依赖于散列表的装填因子，装填因子越大则装填的记录越满，而发生冲突的可能性也越大；反之，则发生冲突的可能性越小。

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